智能手表|含根式的函数图像怎么画？画图像的一般步骤就能解决

文章图片

老黄学高数系列视频第210讲是关于画函数图像的一般步骤的内容。为了巩固这个知识，老黄对各类函数都举出一些例子，以强化画函数图像的能力。这次老黄选择的是一个带有根式的函数。它的图像仍可以用画图像的一般步骤来解决。
作函数图像的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、考察函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、画出函数图象。
练习：按函数作图的一般步骤，作f(x)=(x-1)x^(2/3)的图像.
请自己动手，按上面的一般步骤画出这个函数的图像。
分析：先观察函数的定义域，显然，这个函数在R上都有定义，不存在间断点。如果有足够的经验的话，在这里就可以判断函数有不可导点x=0了，因为求导之后，发现导数在x=0没有定义。
当f(x)=0时，直接可以得到函数的两个零点x=1和x=0. 说明曲线过原点，且与x轴还有另一个交点(10). 这些都是很重要的特殊点，是画函数图像的基本依据，可以先在坐标系中标出这些点。
当x不等于0时，函数的导数为f’(x)=x^(2/3)+2(x-1)x^(-1/3)/3=(5x-2)x^(-1/3)/3 ，当f'(x)=0时，有函数唯一的稳定点x=2/5.
由f'(x)的符号性质可以知道，当x<0或x>2/5时函数单调增；当0<x<2/5时函数单调减. 又由极值第一充分条件可知，函数有极大值点(00) ，和极小值点(2/5-3倍三次根号20 /25).
求函数的二阶导数f”(x)=2x^(-1/3)/3+2x^(-1/3/3)-2(x-1)x^(-4/3)/9=(5x+1)x^(-4/3)/9 由二阶函数的符号性质可以知道，当x<-1/5时曲线上凸；当x>-1/5时曲线下凸，即是凹的.
又函数在x=-1/5连续，所以(-1/5-6倍三次根号5/25)是函数唯一的拐点。
最后，函数并不存在渐近线。

根据上面推导所得的信息，将函数图像的性态列表如下：

可以看到，函数在R上有三个关键点，一个拐点x=-1/5 ，一个极大值点x=0和一个极小值点x=2/5. 这三个关键点将函数的图像划分成四个区间。在最左边的区间，函数是单调增且上凸的；在第二个区间，函数是单调增且下凸的；在第三个区间，函数是单调减且下凸的；在最右的区间上，函数是单调增且下凸的。
【智能手表|含根式的函数图像怎么画？画图像的一般步骤就能解决】综上，画出函数的图像如图：

和你画出来的图像是否一致呢？