如何求 y=2/sin^2x+32/cos^2x的最小值？

求y=2/sin^2x+32/cos^2x的最小值
主要内容：
本文通过使用基本不等式公式的两种不同情形方法，介绍求y=2/sin^2x+32/cos^2x的最小值的计算方法和步骤。

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方法一：
y=2/sin^2x+32/cos^2x,用三角函数变形得到：
y=2(cscx)^2+32(secx)^2 ，
=2[1+(ctg)^2]+32[1+(tgx)^2] ，
=2+32+2(ctg)^2+32(tgx)^2,
则利用基不等式有：
y≥34+2√[2*32(ctg)^2(tgx)^2]
=34+2*8=50.
此时取等号的条件是：2(ctg)^2=32(tgx)^2 ，
即：(tgx)^2=1/16.

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方法二：
取正常数k ，对已知条件变形得：
y=[2/(sinx)^2+k(sinx)^2]+[32/(cosx)^2+k(cosx)^2]-k,
y≥2√2k+2√32k-k=2(√2+√32)√k-k 。
此时取等号的条件为：
2/(sinx)^2=k(sinx)^2 ，且32/(cosx)^2=k(cosx)^2 ，
即：(sinx)^4=2/k,(cosx)^4=32/k,则：
(tgx)^2=1/16,k=(√2+√32)^2.
代入得，函数y的最小值为：
ymin
=2(√2+√32)√k-k ，
=2(√2+√32)(√2+√32)-(√2+√32)^2 ，
=(√2+√32)^2 ，
=2+32+2√64 ，
=34+2*8=50.

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