x2-dy2=-1有多少整数解？近30年无人解开的数学难题有答案了

Alex羿阁发自凹非寺
量子位|公众号QbitAI
数学界几十年来的一个谜题，终于被解开了。
这个猜想和初等数论中经典的佩尔（Pell）方程：x2-d*y2=1有关。
（这里d是整数，求x、y也都是整数的解。）

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在此之前，经典佩尔方程的整数解情况已得到证明：
当d≤0或d为某大于0的完全平方数时，该方程有唯一解：x=±1 ， y=0；当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数组正整数解。
不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。
有人提出将等号右边的1变成-1 ，并将这个新的方程称为负佩尔方程（II型佩尔方程），结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。

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时间拨到1993年，当时数学家彼得·史蒂文哈根（PeterStevenhargen）提出了一个公式，对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。
而这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明它的正确性。
但现如今，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（CarloPagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（PeterKoymans），终于给出了猜想的“正解” 。
帕加诺的导师HendrikLenstra教授甚至对此评价说：
这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章。
数论中的经典：佩尔方程在介绍负佩尔方程之前，让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。
佩尔方程，其实与佩尔完全无关。
这一理论最早由费马（PierredeFermat）进行深入研究，由拉格朗日（Joseph-LouisLagrange）给出解决方案，但后来因为被欧拉（LeonhardEuler）误记为佩尔提出，就阴差阳错的流传下来。
它的具体形式为：x2-d*y2=1
当d是正整数且不是完全平方数，则存在无穷多个解。
举个例子，数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”：
太阳神养了一群牛，这些牛有公有母，分白色、黑色、黄色和花色四种颜色，给定一系列条件，求解牛的总数有多少？各种颜色的牛分别是多少?
这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣，最后经过一系列计算，被演化为求解一个佩尔方程：
x2-4729494*y2=1
2000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了这个问题，他得出了阿基米德群牛问题的所有解：

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不仅解的数量多，牛的最小数量也让人惊呼：或许只有真·太阳神才能管理了。
不同于佩尔方程，负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。
负佩尔方程前文提到，负佩尔方程可表示为：x2-d*y2=-1；d为整数。
显然，当d≤0 ，以及d为大于1的完全平方数时，方程无整数解。
此外，负佩尔方程的整数解复杂性还体现在：
负佩尔方程中的很多d值都无整数解。据已知规则得出， d不能是3、7、11、15的倍数等。
但除了这些值外，并不是其他的d值就一定有整数解。
例如当d=3时， x2–3*y2=-1 ，无论沿着数轴看多远，都永远找不到解。但事实上，排除3、7、11、15的倍数后，并不是取其他的d值，负佩尔方程就一定有整数解。
给定d值后，首先需要求出负佩尔方程的基本解。
对负佩尔方程的求通解可使用这个公式：

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其中，这里的n为任意正整数；a和b则是负佩尔方程的基本解，并有如下等式：